刑事立案后的最长拘留期限为 37天。具体而言，公安机关在立案后，对于一般情况下的刑事拘留期限为14天，而在特殊情况下，如流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，这一期限可以延长至37天。
在这37天中，公安机关需要在拘留后的三日内提请人民检察院审查批准逮捕，特殊情况下可以延长一至四日。人民检察院在接到公安机关的提请后，应在七日内作出是否批准逮捕的决定。如果人民检察院不批准逮捕，公安机关应当在接到通知后立即释放犯罪嫌疑人，并且将执行情况及时通知人民检察院。
因此，综合上述法律规定，刑事立案后的最长拘留期限为37天，包括14天的普通拘留期限和最多可延长的30天，以及人民检察院审查批准逮捕的7天。
