私人诊所的管理部门主要是 卫生局或卫生健康委员会及其派出的卫生监督机构。具体来说，私人诊所的设立和运营需要获得卫生局的许可证，并且接受其监督管理。此外，工商、税务等部门也有权在各自范围内对私人诊所进行监管。
当患者在私人诊所遭遇医疗纠纷时，可以向所在地的卫生局进行投诉，由卫生局负责调查、调解与处罚。卫生和计划生育委员会（卫生健康委员会）是负责全国卫生健康工作的主管部门，其下辖的卫生监督机构则负责医疗机构的监督、检查和管理工作，包括对诊所的监督管理。
综上所述，私人诊所的管理部门为当地卫生局或卫生健康委员会，具体监管工作可能由卫生监督机构执行。
